魔球理論＆滄浪詩話 ── 特級大師的部落格

    談論樂透抽籤之前，我想先介紹 NBA 樂透抽籤的演進史以及現行規則。此舉不僅可以讓讀者獨立思考與判斷現行樂透抽籤制度之優劣以及可改進的方向，亦能能讓讀者在閱讀時更順利地與下方之數據分析銜接，同時對於本文討論的議題有脈絡化的理解，一舉數得。

    贅言不多說，進入本篇首個主題：NBA 樂透抽籤之興替。盱衡此部分的內容，將以抽籤形式和比例為經、時間軸為緯進行說明。

    I. 1947~1965：地域選秀權(Territorial picks)

    在早年的選秀中，各隊的選秀順序由勝率低至高進行排序，低勝率者選秀順位靠前。然而，在進行選秀前，有一個特殊的地域挑選規則允許球隊優先從其本地選拔一名球員(draft a player from its local area)。如果一支球隊決定使用其地域選秀權，則必須放棄其首輪選秀籤。

    在這樣的規則下，有二十三位球員被當地球隊依地域選秀權規則選走，其中高達十二位最終入選了籃球名人堂(Naismith Memorial Basketball Hall of Fame)：Ed Macauley(1949), Vern Mikkelsen(1949), Paul Arizin(1950), Tom Gola(1955), Tom Heinsohn(1956), Guy Rodgers(1958), Wilt Chamberlain(1959), Oscar Robertson(1960), Dave DeBusschere(1962), Jerry Lucas(1962), Bill Bradley(1965), Gail Goodrich(1965)，其中有幾位是至今仍然家喻戶曉的球員。

    II. 1966~1984：擲硬幣選秀(Coin flip)

    在1966年選秀，NBA 修改了其選秀規則，取消了地域選秀權。在選秀前，東區和西區戰績墊底的球隊會參與「擲硬幣」程序，勝者獲得狀元籤、敗者獲得榜眼籤，其他球隊之選秀順序由勝率低至高進行排序，低勝率者選秀順位靠前。

    此選秀制度之問題在於，戰績最差的兩支球隊可能在同一個分區；然而，「擲硬幣」程序反而導致戰績倒數第二差的球隊無法在選秀時獲得前二順位。

    III. 1985~1989：初期樂透選秀系統(Early lottery system)

    由於當時有幾支球隊刻意輸球以取得高順位選秀之嫌疑，NBA引入了樂透選秀。所有沒進入季後賽的球隊皆可參與樂透抽籤，形式是從漏斗中抽取信封(和抽籤的概念相同)，每一個信封中都有一個未進入季後賽的球隊。最先被抽出者獲得狀元籤，其次獲得榜眼籤，依此類推；每支未進入季後賽的球隊獲得狀元籤之機率相同。剩下進入季後賽之球隊選秀順序由勝率低至高進行排序，低勝率者選秀順位靠前，順位銜接在樂透選秀之後。

    1987年開始，只有選秀前三順位由樂透選秀決定，未被抽中的球隊和季後賽球隊之選秀順序由勝率低至高進行排序，低勝率者選秀順位靠前。這樣的規則也確保了聯盟戰績最差的球隊至少能獲得第四順位之選秀權。

    IV. 1990至今：加權樂透選秀系統(Weighted lottery system)

    1990年，NBA改變了樂透選秀的形式，使戰績最差的球隊最有機會獲得第一順位。當時有11支非季後賽球隊，因此戰績最差的球隊獲得11支樂透系統籤、戰績次差的獲得10支樂透系統籤，依此類推(共有66支樂透系統籤)，從這66支樂透系統籤中抽出選秀前三順位，剩下未被抽到的球隊以及季後賽球隊的選秀順序由勝率低至高進行排序，低勝率者選秀順位靠前，順位銜接在前三順位之後。

    然而，機率往往會出現意外，1993年魔術隊是該賽季戰績最好的非季後賽球隊，卻在只有1支樂透系統籤的情況下抽中選秀第一順位。為了避免此情況再度發生，NBA改變了加權樂透選秀系統之加權權重，使聯盟戰績最差的球隊有25%之機率(此前為16.7%)獲得狀元籤，而戰績最好的非季後賽球隊獲得狀元籤之機率降為0.5%。

    其中，此加權系統的抽籤方式也值得一提：本系統是使用分別標上1~14的十四顆桌球，在這十四個桌球中，抽出四個桌球即可得到一個「號碼序列」(例如：1-3-9-12 是其中一種號碼序列，2-5-9-14也是一種號碼序列。此外，號碼的排列順序無論為何皆視為同一種「號碼序列」，因此 3-5-8-11 和 11-5-3-8 是同一種號碼序列)。因此，藉由組合計算(見下式)，可得到1001種「號碼序列」。

    在這1001種「號碼序列」中，NBA 定義 11-12-13-14 此種「號碼序列」為無效序列(若抽到則重抽)，剩下一千種序列則分配給未進入季後賽的球隊。聯盟戰績最差的球隊可獲得250個序列(因此抽中狀元籤機率25%)，戰績最好的非季後賽球隊可獲得5個序列(因此抽中狀元籤機率0.5%)。

    NBA 會用此加權樂透選秀系統決定選秀的前三順位，未被抽中的球隊和季後賽球隊之選秀順序由勝率低至高進行排序，低勝率者選秀順位靠前。這樣的規則同樣也確保了聯盟戰績最差的球隊至少能獲得第四順位之選秀權。在此附上此加權樂透選秀系統之機率分布表：

    另外，若有兩支球隊戰績相同，則獲得的「號碼序列」會平均(e.g. 若倒數第六和倒數第七的球隊戰績相同，則兩者的「號碼序列」個數皆為53個)。

 有鑑於許多重建球隊刻意輸球以取得戰績倒數第一使其獲得狀元籤之機率最大化之行徑，NBA再度更改加權樂透選秀系統之加權權重，使戰績墊底球隊獲得狀元籤之機率降低、聯盟倒數前三獲得狀元籤之機率皆為14%，試圖根除刻意輸球之情況；同時，將選秀之前四順位皆交由加權樂透選秀系統決定(此前只有前三順位是樂透選秀)，聯盟戰績最差的球隊有獲得第五順位之可能性。此權重調整自2019年選秀開始實施。

    在此附上現行加權樂透選秀系統之機率分布表：

       盱衡上述樂透選秀制度之改變，並佐以本賽季新增季後賽附加賽(play-in tournament)之制度使分區前十的球隊都有機會進入季後賽的制度調整，可以看出聯盟確實有想要提升各隊的競爭力，避免球隊刻意輸掉大量比賽以謀得高順位選秀之情況發生。

    結束了第一個主題的介紹之後，第二個主題便是本文的命題：談選秀順位與球員成就之相關性。

    在進行本命題之討論之前，在此針對一些結構性問題進行釐清。首先，關於球員成就部分，為了簡化討論之複雜度，僅分成三個層次進行統計：入選 Naismith Memorial Basketball Hall of Fame 籃球名人堂、入選 All-NBA Team 年度最佳陣容(以及入選次數)、入選 All-Star Game 全明星賽(以及入選次數)。其次，要研究相關性需要擁有足夠的樣本數；然而，年代過近之選秀樣本中，絕大多數球員的生涯成就還在累積，直接採計有數據失真之嫌，而過久之前(1965年以前)的選秀樣本由於有 Territorial picks 的影響，讓順位無法妥善統計，也不採用。

    因此，入選「名人堂」部分，考量到球員需要退休後一段時間才會入選，因此過於近期的選秀不應納入統計，本文統計 1966~1995 年之選秀成員，既能避開地域選秀權，樣本也具有一定的規模。

    再者，入選「年度最佳陣容」部分，由於 NBA 在 1988~89賽季才開始有年度第三隊，為了避免過早的統計數據因為沒有年度第三隊而失真，因此自1985年選秀的球員開始統計(1988~89賽季為他們生涯第四個賽季，數據不至於太失真)。而年份太近的選秀球員很多依然在聯盟效力，入選年度球隊的次數可能還會大幅增加，但是若統計年份太少卻會受到極端值影響。

    權衡之下，我認為統計1985~2004 橫跨二十年的選秀球員最為妥當，僅有 LeBron James(03年狀元)還有機會入選「年度最佳陣容」，其他四位現役球員 Udonis Haslem(02年落選), Carmelo Anthony(03年探花), Andre Iguodala(04年9號秀), Trevor Ariza(04年43號秀) 應無機會。

    最後，入選「全明星賽」部分，為了避免年代久遠時 NBA 球隊較少球員較易入選全明星賽，使統計產生系統性誤差，但又希望樣本盡量採樣夠大，避免極端值影響；因此，我選擇 1975~2004 選秀梯次之球員進行統計，就長達三十年的尺度進行分析。

NBA 1966~1995 梯次選秀成員名人堂統計：(三十年選秀整理)

入選名人堂者以 ✔ 表示。

註一：

    1966年選秀有19輪、選擇了112人，1967年選秀有20輪、選擇了162人，1968~1973年選秀18~21輪、每年選擇了198~239人，1974~76年選秀皆為10輪、每年選擇了170~178人，1977年選秀有8輪、選擇了170人，1978~84年選秀皆為10輪、每年選擇了202~228人，1985~86年選秀皆為7輪、162人，1987年選秀有7輪、161人，1988年選秀有3輪、75人，其餘皆為兩輪制。

    1966~1980年的選秀首輪人數分別為：10, 12, 14, 15, 17, 17, 13, 18, 18, 18, 17, 22, 22, 22, 23 人。

註二：

    名人堂球星Arvydas Sabonis 在1985年選秀第四輪(總順位第77)被 Atlanta Hawks 選中，但 Sabonis 當時尚未滿21歲，故選秀結果遭宣告無效。1986年首輪第24順位(該年度首輪最後一個順位)，Sabonis 被 Portland Trail Blazers 選中，但在1986~89在立陶宛打球、1989~1995在西班牙打球，直到1995年才在NBA有出賽紀錄。

註三：

    有些次輪或是順位更差的選秀球員入選名人堂是因為其在其他國家職業籃球(大部分為歐洲)的優異表現與貢獻，在NBA的出賽未必很多，巔峰時期也可能不在於NBA效力。

入選名人堂統計數據分析：

    若以入選 Naismith Memorial Basketball Hall of Fame 籃球名人堂 作為球員成就標準，則僅有狀元籤(43.3%)與榜眼籤(30%)入選機率明顯較高，3~5順位入選機率約為一成半(15.6%)、6~9順位入選機率為7.5%、10~14順位入選機率為4%。

    然而，入選名人堂對於多數球員來說實乃可遇不可求，如統計數據中發生了選秀第三順位與第四順位球員入選名人堂之總人數與第五順位入選名人堂之人數一樣多的詭譎情況；再者，球隊在選秀時，也很難直接判斷哪位球員是未來名人堂成員，因此還需要其他球員成就衡量標準加入。

NBA 1985~2004 梯次選秀成員入選 All-NBA Team 年度最佳陣容 統計：(二十年選秀整理)

以下表格中之數字為球員入選 All-NBA Team之次數；其中，前十四順位(現今之樂透選秀標準)以❀之下標 _❀ 標註。

註一：

    All-NBA Team 統計只包含 All-NBA First Team(年度第一隊), All-NBA Second Team(年度第二隊), All-NBA Third Team(年度第三隊)，不包含 NBA All-Defensive Team (年度防守陣容)。

註二：

    名人堂球星Arvydas Sabonis 以1986年首輪第24順位進行統計。

入選年度最佳陣容統計數據分析：

    若將入選 All-NBA Team 年度最佳陣容 視作球員成就之基準進行統計，我們看到了狀元籤中所蘊藏的無限潛能。由此橫跨二十年的統計可以得知，選秀狀元不僅有高達65%的比率入選年度最佳陣容(也就是全聯盟後衛前六或是前鋒前九)，入選年度最佳陣容的人次甚至比2~5順位加總還要多；或許這也是為什麼選擇放棄當下的球隊皆無所不用其極地使戰績成為聯盟倒數前三，以將獲得狀元籤機會最大化的原因。

    其次，在上述統計中，如果以橫軸為單位觀察，便能看出選秀大年與選秀小年的差別。例如1996年選秀首輪入選 All-NBA Team 高達37人次，2000年卻一次都沒有；若以高順位選秀(1~5順位)進行計算，其實也只有36%的球員能入選年度前三隊。

    綜觀近十年獲得的總冠軍球隊，球隊中都至少有兩位生涯曾入選 All-NBA Team 的球員。若重建球隊只想透過高順位選秀進行培養而不藉由交易或是自由球員市場獲得巨星加入，那根據期望值，他們需要6支高順位選秀(1~5順位)的首輪籤才能讓隊上擁有兩位 All-NBA Team 等級的球員(∵ 6×36%=2.16)，以達到球隊所預期的競爭力。

    此外，上方的統計數據也清楚說明若球隊選擇交易球隊資產進行重建，兌換非樂透區的首輪籤實乃下下策。因為一個選秀年中所有非樂透區之首輪籤所選到的球員，以平均而言，能在整個職業生涯中入選 All-NBA Team 的不到一位。反過來說，非樂透區之首輪籤非常適合作為交易籌碼，因為在交易中其擁有名過於實的價值。

    最後，值得一提的是，1985~2004年的第六順位和第十二順位皆沒有球員入選 All-NBA Team。以機率而言看似十分不合理，但是體育賽事之所以如此耐人尋味以及擁有無窮魅力就是因為這樣的不確定性以及不可預期性！

NBA 1975~2004 梯次成員入選 All-Star Game 全明星賽 統計：(三十年選秀整理)

以下表格中之數字為球員入選 All-Star Game之次數；其中，前十四順位(現今之樂透選秀標準)以✮之下標 _✮ 標註。

註一：

    名人堂球星Arvydas Sabonis 以1986年首輪第24順位進行統計。

註二：

    Dirk Nowitzki(98年9號秀)和Dwyane Wade(03年5號秀)在2019年全明星賽獲得額外名額，不計入上方統計之 All-Star Game 入選次數。

入選全明星賽統計數據分析：

    誠然，以入選全明星賽作為衡量球員成就之基準有許多爭議，除了球員效力之球隊由於所在城市不同，其獲得之關注度擁有雲泥之別、全明星賽只考量上半季的成績，對於隨著賽事深入狀態持續升溫的球員十分不利之外，球迷投票也會有我在之前文章提過之主觀與專斷情況(詳見 極限思辨 ── 談球員被高估 一文)，因此未必適合作為球員成就基準。

    然而，前一項基準 All-NBA Team 每年只有十五位球員能入選，其實也非常不容易，而每位球員在場上的貢獻層面也不相同，若以單一數據(e.g. 場均得分20分以上)或是複合數據(e.g. 場均10分5助攻5籃板以上)作為基準，反而會有更大的偏差。筆者權衡利弊後，仍以入選全明星賽作為第三層之球員成就基準。

    與All-NBA Team 相若，選秀狀元與其他順位球員相比依舊遙遙領先(入選機率76.7%)，而2~5順位的入選次數可視為同一層級(入選機率40.8%)，再往下一層級則是6~9順位(入選機率26.7%)，往後順位進入明星賽的機率大致呈遞減態，非樂透區之首輪選秀球員一年平均約僅有一位在其職業生涯能入選全明星賽，次輪選秀亦然。

    以分析中所涉及之三十年數據而言，選秀籤的價值其實隨著順位的增加而急遽下滑，第十二順位以後被選入的球員能蛻變為全明星者寥寥可數。

    在此，我認為中段首輪籤的價值值得探討。如果球隊交易走一名全明星球員換得三支首輪籤且依照對方球隊戰績預期這三支首輪籤皆在中段；依照上方統計數據中選秀第13~14順位之球員成為全明星之機率(4/30=13.3%)進行計算，三支中段首輪籤選到的球員至少有一位成為全明星的機率為：所有可能性－三位皆未成為全明星的機率＝1－[(1-13.3%)^3] ＝ 1－[0.867^3] ＝ 1－0.652 ＝ 34.8%。僅約略高於三分之一。

    也就是說，三支中段首輪籤有六成多的機會連一位全明星球員都不會誕生！如此一來，這筆全明星球員的交易有高機率血本無歸。

總結：

    行文至此，本欲進行單純分析數據的我忽然有種淡淡哀愁與憂傷。因為，每一位球員都是有血有肉有溫度且真實存在的，可是，在數據分析的無情軋壓下，卻都變成了冷冰冰的數字與符號，無一倖免。

    其實，在統計圖表中留白的格子所代表的樂透選秀球員並不是沒有在球場上留下貢獻，不是他們不優秀，也不是他們不傑出；他們很可能巔峰時在球隊中擔任絕對核心、他們很可能在每個比賽的夜晚都拼盡全力，以不同的方式在球場上留下屬於自己的痕跡。他們每一位都有自己的故事、自己的奮鬥史，沒有獲得那些榮譽不代表他們沒有一個值得尊敬的職業生涯，也不代表他們在這最高殿堂空手而歸。

    你必須承認數據很殘酷，將球員的榮譽進行比較是殘忍的。他們在進入最高殿堂前都是自己球隊中舉足輕重的人物，都曾獨領風騷、大殺四方；進入最高殿堂後，有些球員依舊閃耀、在淬鍊中光芒愈發耀眼，有些球員選擇放下身段、揮別鎂光燈的關注在球隊中擔任無聲的貢獻者、在數據難以體現之處竭盡全力，成為球隊邁向成功的墊腳石。我認為後者與前者值得同等的讚譽也同樣的讓人驚豔；然而，後者所帶來的感動往往只能深藏在球迷心中。

    在數據的解析之下，情況變得較為單純且容易理解，少了模糊地帶讓邏輯辯證與推演變的可行；可是，少了情感與數據背後的故事，激情與感動蕩然無存，籃球也就不像籃球了。

    就如我在建中時的資訊老師潘威歷老師所言：「所有人都被解構成數據後，要怎麼留下舍利子呢？」如今回首看來，實乃發人省思！

後記：

    其實，每一位能參與NBA選秀的球員都極度優秀，在首輪與次輪被選擇的球員也都滿懷天賦與潛力。他們都是當下的一時之選，在球隊內部經過縝密的分析之後，以珍貴的選秀權為代價收入麾下，被寄予厚望。然而，球員對於職業賽場的激烈競爭、龐大壓力以及極高的關注度之適應皆不相同；因此，選秀必定充滿著高不確定性，沒有一定也沒有必然。

    再者，本文統計的數據都是代表過去。的確，「以古為鏡，可以知興替」；但是，「昨日種種譬如昨日死，今日種種譬如今日生」。每一個球員都是不同的個體，加入不同的球隊、擁有不同的教練、不同的訓練師、身處不同的時代以及不同的球風，這一切所囊括的變因太多，並非僅僅是一個選秀順位的數字所能代表。

    統計可以看出趨勢，但是未來是靠著持續不斷的努力以及精進自己所創造的！

    共勉之。

備註：

    本文中的每一個統計圖表都是我花費許多時間、一格一格查詢所製作而成，請尊重著作權。若需引用請附上本文網址，謝謝。

延伸閱讀：

〈 極限思辨 ── 談球員被高估  〉